Versione in miniatura del Teorema di Gödel
Giovedì 12 aprile 2007 by Mariano Tomatis
Costruiamo un sistema che utilizzi quattro simboli: D, N, D, N. In questo sistema è possibile costruire varie espressioni accodando opportunamente i simboli.
Ogni espressione x è composta da una qualunque sequenza dei quattro simboli, e può essere vera o falsa.
Inoltre, ognuna può essere dimostrabile o non dimostrabile.
L'unico legame tra verità e dimostrabilità all'interno di questo sistema è questa: "ogni espressione dimostrabile è vera".
Gödel si chiese se valesse anche l'inverso: "ogni espressione vera è dimostrabile?"
Significato del simbolo D
Il simbolo D significa "dimostrabile nel sistema". Così per ogni espressione x (che sia vera o falsa), Dx afferma che l'espressione x è dimostrabile.
Dx è vera se x è dimostrabile.
Tra il simbolo D e la generica espressione x c'è un unico legame: se Dx è vera, x è vera. Infatti Dx vera indica che x è dimostrabile, ma poiché ogni espressione dimostrabile è vera, allora x è vera.
Significato del simbolo N
Il simbolo N significa "non dimostrabile nel sistema". Così per ogni espressione x (che sia vera o falsa), Nx afferma che l'espressione x non è dimostrabile.
Nx è vera se x non è dimostrabile.
Tra il simbolo N e la generica espressione x c'è un unico legame: se Nx è vera, x non è dimostrabile.
E' importante notare che non si è fornita alcuna regola per determinare verità o falsità delle espressioni Dx o Nx: si sono soltanto evidenziate due implicazioni logiche.
Arriva l'autoreferenzialità...
Se facessimo uso soltanto dei primi due simboli (D ed N) non ci sarebbe alcuna possibilità di ottenere espressioni che fanno riferimento a sé stesse. Ad esempio:
DNNN fa riferimento a NNN affermando che quest'ultima è dimostrabile.
NNDND fa riferimento a NDND affermando che quest'ultima non è dimostrabile.
DD fa riferimento a D affermando che quest'ultima è dimostrabile.
L'autoreferenzialità non si può ottenere perché i simboli non lo consentono; in altre parole, nessuna espressione nel sistema presentato è in grado di affermare qualcosa di sé, ma sempre e soltanto di una espressione più breve (escluse le espressioni finali D ed N che non affermano nulla).
Un modo per introdurre nel sistema la capacità di far riferimento a sé stesso è quello di aggiungere i simboli D ed N, il cui significato aggiunge una regola per cui un enunciato può far riferimento ad altri enunciati eventualmente più lunghi di sé.
Significato del simbolo D
Per ogni espressione x nel linguaggio del sistema, Dx afferma che l'espressione xx è dimostrabile.
Si noti che le due espressioni x e xx non hanno alcun legame logico tra di loro: la verità o la dimostrabilità di una non implica in alcun modo la verità o la dimostrabilità dell'altra.
Per definizione, se Dx è vera, xx è vera. Infatti Dx vera indica che xx è dimostrabile, ma poiché ogni espressione dimostrabile è vera, allora xx è vera.
Significato del simbolo N
Simmetricamente, per ogni espressione x nel linguaggio del sistema, Nx afferma che l'espressione xx non è dimostrabile.
Un po' di pratica con il sistema appena presentato:
DNND è un enunciato che afferma che NND è dimostrabile. La prima espressione (4 simboli) fa riferimento ad un'espressione più corta (3 simboli).
NND è un enunciato che afferma che ND non è dimostrabile. La prima espressione (3 simboli) fa riferimento ad un'espressione più corta (2 simboli).
NN è un enunciato che afferma che NN non è dimostrabile. La prima espressione (2 simboli) fa riferimento ad un'espressione della stessa lunghezza (2 simboli).
DNND è un enunciato che afferma che NNDNND è dimostrabile. La prima espressione (4 simboli) fa riferimento ad un'espressione più lunga (6 simboli).
Questo sistema possiede la capacità di far riferimento a sé stesso. Ad esempio l'enunciato DD fa riferimento all'enunciato DD (dunque a sé stesso) affermando che è dimostrabile. Esso può essere tradotto nei termini "Io sono dimostrabile".
Ogni espressione vera è dimostrabile?
Riprendiamo la domanda che si pose Gödel: in questo sistema, ogni espressione vera è dimostrabile?
La risposta è negativa: l'espressione NN è vera ma non dimostrabile. Eccone la dimostrazione:
NN è un enunciato che afferma che NN non è dimostrabile. Essendo autoreferenziale, esso afferma la propria indimostrabilità, e può dunque essere tradotto nei termini "Io non sono dimostrabile".
NN non può essere falso, perché se così fosse sarebbe falsa l'affermazione "Io non sono dimostrabile", dunque sarebbe vera l'affermazione "Io sono dimostrabile".
Ma in questo modo avremmo un enunciato falso dimostrabile, il che va contro le premesse per cui gli enunciati dimostrabili sono tutti veri. Ecco mostrato che non può essere falso. E' dunque certamente vero. E se è vero, è vero quanto afferma: che non è dimostrabile.
NN è quindi contemporaneamente vero e non dimostrabile.
Godel provò che qualunque sistema che vuole essere abbastanza potente da comprendere la possibilità di far riferimento a sé stesso non riesce ad evitare enunciati come NN.
Dunque qualche verità sfuggirà sempre al processo di dimostrazione: ci sarà sempre qualche verità non dimostrabile.
Se, invece, un sistema non sarà così potente da comprendere l'autoreferenzialità, per questo stesso motivo non sarà completo e dunque gli sfuggiranno sempre alcune verità.
Nota importante
Il lettore potrebbe trovarsi un po' spiazzato perché non nel sistema definito non è fornita alcuna regola per definire la verità o la falsità delle espressioni; in effetti è così: non c'è alcun bisogno di definire un criterio del genere; è sufficiente definire alcune implicazioni logiche tra verità e dimostrabilità per mettere in luce l'incompletezza di un sistema autoreferenziale.
E' spontaneo chiedersi "DN è vero o falso?", ma la risposta è ininfluente.
Esso afferma che N è dimostrabile, e per sapere se l'espressione DN è vera o falsa dovrei prima determinare la verità o falsità di N; al simbolo N isolato, però, non è stato ancora attribuito alcun significato. Non c'è dunque alcun modo, nel sistema presentato finora, di determinare se DNNDNDNNND sia vero o falso (e così per molti altri enunciati). La cosa sorprendente, però, è che non c'è alcun bisogno di definire un criterio di verità per il fine che ci siamo posti, ossia per trovare una verità indimostrabile. NN, infatti, è chiaramente vera e indimostrabile, anche se non si è data alcuna regola per determinare verità e falsità dei simboli D, N, D, N!
Conseguenze e riflessioni
Sulle conseguenze del Teorema di Gödel ha scritto un interessante commento Piergiorgio Odifreddi, qui riportato:
Le conseguenze del teorema di Gödel per l'epistemologia della matematica ci sono, ma sono limitate e meno estese di quanto si suole in genere affermare, soprattutto negli scritti divulgativi. Il teorema dice che gli usuali sistemi formali della matematica che contengano una minima parte dell'aritmetica sono incompleti, nel senso che non possono dimostrare tutte le verità esprimibili nel linguaggio della teoria. E' dunque in gioco l'incompletezza, che riguarda l'insieme di tutte le possibili verità, da quelle più stupide e superficiali a quelle più profonde.
In realtà, i matematici non sono mai stati interessati a tutte le (infinite) verità, ma solo ad un piccolo numero (finito) di esse, significative da qualche punto di vista particolare. Il teorema di Gödel non dice nulla sulla indimostrabilità o indecidibilità di queste singole affermazioni, in particolare sui principali problemi aperti della matematica: parla solo dell'indecidibilità della maggior parte delle affermazioni. Il che non significa affatto che quelle interessanti in teoria o in pratica non possano poi risultare decidibili in un senso o nell'altro (ad esempio, per qualche tempo si e' pensato che il cosiddetto teorema di Fermat potesse essere vero ma indimostrabile, e poi lo si e' invece dimostrato). In sintesi, il teorema di Godel riguarda quanto si possa sapere della verità matematica (e la risposta è "poco"), ma non dice cosa (non) si possa sapere.
Le limitazioni del teorema di Godel non sono comunque più devastanti di quelle di Cantor o di Turing, che hanno rispettivamente dimostrato che quasi tutti i numeri reali non si possono definire, e quasi tutte le funzioni di numeri interi non si possono calcolare. Il che non impedisce che noi continuiamo ad interessarci ai pochi numeri reali definibili (fra i quali ci sono, per forza di cose, tutti quelli noti, dai razionali a pi greco), o delle poche funzioni calcolabili (fra le quali ci sono tutte quelle che possono calcolare i computer, e dunque tutte quelle di interesse per l'informatica teorica o pratica).
In ogni caso, voler estendere il teorema di Gödel ad altri ambiti che non sono i suoi propri è pericoloso, e può generare fraintendimenti. Tanto per cominciare, non lo si può neppure estendere a tutti i sistemi matematici: ad esempio, la teoria elementare della geometria è completa, come ha dimostrato Tarski, e dunque le limitazioni di Gödel richiedono in modo essenziale l'aritmetica. Non parliamo poi delle estensioni ad ambiti che non sono neppure strettamente matematici, dalla fisica alla politica. La mia opinione è che in questi campi sia meglio lasciar perdere i teoremi di Gödel, e considerare limitazioni intrinseche, dal Principio di Indeterminazione di Heisenberg e il Teorema di Bell nel primo caso, ai Teoremi di Arrow e Sen nel secondo.
Ciò detto, è innegabile che tutti questi risultati dimostrino che ci sono limiti alla conoscenza, e che la "verità" si possa soltanto approssimare in maniera estremamente ristretta. Ma questo può turbare soltanto coloro che credevano che si potesse sapere tutto. Per me l'interesse dei teoremi limitativi non sta nel fatto che essi mostrino limiti alla conoscenza matematica dell'universo, ma che lo dimostrino in maniera matematica! In altre parole, il pensiero formale sarà pure limitato, ma fra le sue limitazioni non c'è quella di non sapere di essere limitato! Conoscere i propri limiti, non è forse l'espressione più alta della consapevolezza?"
(Questa pagina è liberamente ispirata a Satana, Cantor e l'infinito di Raymond Smullyan)
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"Diabolo, il grande" sulla ristampa di Dylan Dog 11
Giovedì 12 aprile 2007 by Mariano Tomatis
E' in edicola, nel quarto numero dell'edizione Grande Ristampa di Dylan Dog, l'episodio intitolato Diabolo, il grande.
Dylan Dog 11, agosto 1987
Un agile guizzo delle dita, un manichino, un fiotto di sangue finto... ed ecco che il trucco è fatto! Nello spettacolo di Diabolo, la morte è messa in scena come un’illusione perfetta ma, nella sua vita reale, il trucco non si vede… perché non c’è! Un serial killer si muove dietro le quinte della magia e per Dylan Dog è pronto un caso difficile: deve affrontare tutti i giochi di prestigio di una mente sconvolta.
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Martedì 10 aprile 2007 by Mariano Tomatis
La vignetta è tratta dal magistrale fumetto di Leo Ortolani Rat Man.
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Lunedì 9 aprile 2007 by Mariano Tomatis
Questa vignetta mi è stata segnalata da Gianni Pasqua, che ringrazio.
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Domenica 8 aprile 2007 by Mariano Tomatis
La recente lettura di un libro quasi dimenticato tra gli scaffali del passato mi ha offerto tante di quelle idee che ho pensato di "fermarle" in questa pagina, ad uso di chi abbia 20 centesimi da investire in una scatoletta di fiammiferi. Il libro è "Match-ic", del sempre fertile e geniale Martin Gardner.
Risurrezione
Colorando di nero la capocchia di un fiammifero e strofinandolo nella cenere è possibile ottenere l'esatta copia di un fiammifero usato. Fiammiferi così truccati possono essere lasciati tra gli altri in un posacenere e - successivamente - presi in mano con l'intento di risuscitarli...
Fiammifero a sorpresa
Mettete in piedi la scatolina di fiammiferi e infilate verticalmente per un centimetro tra cassetto e contenitore due fiammiferi, uno per lato, in modo che le capocchie si trovino all'esterno. Fate in modo che le due capocchie reggano un terzo fiammifero disposto orizzontalmente; per ottenere questo equilibrio è necessario sforzare un po' verso l'esterno i due fiammiferi verticali. A questo punto accendete un quarto fiammifero e date fuoco al fiammifero orizzontale tra i due: dovete bruciarlo al centro. Chiedete ai presenti se pensano che prenderà fuoco prima il lato con due capocchie o quello con una sola. Ciò che accadrà stupirà tutti: il fiammifero, infatti, schizzerà via spinto dagli altri due senza bruciarli (Il gioco era spiegato già nel numero di Magic del marzo 1902 nella sezione "Diversi diversivi").
Cambio di colore
Per dimostrare che siete in grado di togliere una capocchia da un fiammifero senza danneggiarlo e senza lasciare traccia, tenetene uno con la capocchia (rossa) verso l'alto nella mano sinistra tra pollice da un lato, indice e medio dall'altro. Nel frattempo la mano destra tiene nascosto un secondo fiammifero con la capocchia (blu) rivolta verso il basso, tenuto con le stesse dita in modo che il pubblico non lo veda. Mentre la destra si avvicina alla sinistra con l'intento di staccare la capocchia rossa, i due fiammiferi verranno a trovarsi paralleli e vicini. Fingete di tirare via la capocchia rossa e di non riuscirci. Ripetete di nuovo il movimento, fingendo di nuovo di non riuscirci. Ripetete per la terza volta il movimento, ma quando i due fiammiferi si troveranno vicini, fate in modo che la destra afferri il fiammifero rosso e lo porti via, lasciando nella sinistra il blu con la capocchia verso il basso. Quando la destra si sarà allontanata, sembrerà che siate riusciti a togliere la capocchia - si vedrà infatti il fondo del fiammifero blu che verrà scambiato per la testa del fiammifero rosso cui è stata asportata la capocchia. Con la scusa di buttare via la capocchia appena staccata, mettete la destra in tasca e liberatevi del fiammifero rosso. A questo punto dite che volete spiegare il trucco: in realtà avete semplicemente ruotato il fiammifero scambiando la testa e il fondo. Naturalmente gli spettatori si accorgeranno che qualcosa di magico dev'essere davvero avvenuto, perché nel ruotarlo il fiammifero ha addirittura cambiato colore! Se per caso foste in difficoltà a procurarvi due fiammiferi di colore diverso, potete utilizzarne uno usato che sostituirete con uno nuovo. Naturalmente lo scambio deve avvenire in questa direzione, perché non c'è niente di strano in un fiammifero rosso che diventa nero.
Già acceso!
Per tirar fuori dalla tasca un fiammifero già acceso è sufficiente pizzicarlo in un piccolo pezzo di carta vetrata dal quale verrà estratto. Se volete estrarlo acceso da una scatoletta, fissate sulla parete superiore della stessa un pezzo di carta vetrata; nel tirarlo fuori fate in modo che si vada a strofinare sopra. Se il pezzo di carta viene fissato sopra l'orecchio con un po' di cera è possibile addirittura accenderlo sfregandolo sulla testa!
Accensione automatica
Quando vi capiterà di porgere un fiammifero ad un amico, estraetelo dalla scatola e appoggiate la sua capocchia sulla striscia che serve ad accenderlo. Tenendola schiacciata lì contro con il pollice, porgete l'altra estremità al vostro amico. Non appena farà per prenderlo, la pressione del vostro dito e il suo movimento accenderanno il fiammifero senza procurarvi alcun dolore.
Il fiammifero metallico
Togliete la testa e la punta a un chiodo del diametro di un fiammifero. Dipingetelo di un colore chiaro simile al fiammifero. Tenetelo nascosto in mano mentre vi accendete una sigaretta con un fiammifero autentico. Dopo averlo spento, fate finta di buttarlo per terra, e lasciate cadere invece il chiodo. Tutti scoppieranno a ridere nel sentire il forte rumore del fiammifero di ferro per terra!
Prova di forza
Tenete una mano con il dorso in alto. Appoggiate un fiammifero sulla falange appena sotto l'unghia dell'anulare. Fermate il fiammifero con i polpastrelli del mignolo e del medio della stessa mano. A questo punto, per quanti sforzi facciate, sarà impossibile rompere il fiammifero!
Il fiammifero spiritico
Piegate a metà un fiammifero senza romperlo. Prendete un coltello e fatelo tenere a qualcuno rivolto in avanti con la lama in verticale, come se dovesse tagliare qualcosa. Fategli avvicinare il coltello al piano di un tavolo, e mettete in bilico sulla lama il fiammifero a V capovolta. Le due estremità del fiammifero dovranno trovarsi appoggiate al tavolo, mentre il coltello dovrà essere sollevato e la persona non dovrà appoggiarsi al piano. A meno che la mano della persona sia stabilissima, il fiammifero inizierà a camminare avanti e indietro, guidato dalle vibrazioni della mano che faranno sollevare e abbassare ritmicamente il coltello su e giù.
No light!
Tagliate a metà un fiammifero e ricomponetelo, coprendo la separazione con le due dita con cui lo reggete. Accendetelo e porgetelo a qualcuno acceso. Costui lo afferrerà dall'estremità lontana dalla fiamma. A questo punto portategli via la parte superiore: si ritroverà con un mozzicone spento, e la fiamma l'avrete ancora voi!
Sull'attenti!
Fate un piccolo buco sopra una scatoletta di fiammiferi vicino al cassettino. Infilatevi un fiammifero in modo che ne rimanga fuori soltanto la capocchia. Appena farete scorrere in avanti il cassettino, il fondo di questo spingerà il fiammiferò che si solleverà e uscirà dal buco fino a raggiungere una posizione verticale.
Bacio prolungato
Fate un piccolo buco sopra una scatoletta di fiammiferi e infilatevi un fiammifero verticalmente con la capocchia in alto. Mettete un secondo fiammifero in diagonale appoggiato al primo, in modo che le due capocchie siano a contatto. Ci vorrà un po' di pratica per ottenere questo equilibrio. Con un terzo fiammifero date fuoco al centro del fiammifero in diagonale. Dopo pochi istanti prenderanno fuoco entrambe le cappocchie: questo sarà il "bacio". A un tratto il fiammifero libero comincerà a sollevarsi in aria, ma le due capocchie resteranno a contatto, prolungando il bacio mentre avviene la singolare levitazione.
Sigaretta esplosiva
Colorate un fiammifero di marrone (o utilizzatene uno di quel colore), staccatene la capocchia e nascondetela in punta ad una sigaretta. Quando il malcapitato fumatore cercherà di accenderla sarà testimone di una innocua ma sorprendente fiammata!
Trasformazione della scatoletta
Prendete due scatolette per fiammiferi diverse. Dalla prima ritagliate la faccia superiore (quella con l'immagine) e appoggiatela sulla seconda. Se l'avrete ben sovrapposta, la scatoletta sembrerà assolutamente normale. Coprite per un istante con la mano la scatoletta, e dopo qualche istante allontanate la mano portando via segretamente la copertura: sembrerà che l'immagine si sia trasformata. Ora potete consegnare la scatoletta perché tutti possano constatare che non è minimamente truccata.
Attraverso il collo
Nascondete in bocca un fiammifero con la capocchia rivolta verso la vostra gola e l'altra estremità verso l'esterno. Prendete un altro fiammifero e, tenendolo dalla capocchia, fingete di infilarlo nel collo; esso scorrerà attraverso le dita ma sembrerà infilarsi nella vostra pelle. Contemporaneamente con la lingua spingete fuori il fiammifero che avevate in bocca.
Spento e riacceso
Piegate un fiammifero a 45 gradi, accendetelo e tenetelo con la mano destra in modo che la parte accesa sia in verticale. Tenete nella sinistra un altro fiammifero che accenderete con il fiammifero piegato. Quando entrambi sono accesi, fate ruotare velocemente su se stesso il fiammifero piegato. Questo si spegnerà per via della rotazione. Quando, però, avrà completato la rotazione, si riaccenderà magicamente. Il fumo che sale verso l'altro fiammifero ancora acceso prenderà infatti fuoco e riporterà indietro la fiamma.
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