Il matematico ungherese Paul Erdős credeva nell’eleganza della matematica. Per esprimere questa sua fede, amava dire:

Dio possiede un Libro transfinito che contiene tutti i teoremi e le loro migliori dimostrazioni. Non è necessario credere in Dio, ma è necessario credere nell’esistenza del Libro. (1) 

Quando un collega gli proponeva qualche bel teorema, il massimo complimento che poteva fargli era: «Questo teorema proviene direttamente dal Libro.»

Nel 1967 Charles W. Trigg ha pubblicato una raccolta di enigmi e giochi matematici le cui soluzioni sembrano provenire tutte... dal Libro! Si tratta di Charles W. Trigg, Mathematical Quickies (McGraw-Hill Book Company, New York, 1967).

Nel corso di svariati decenni, Trigg ha collezionato decine di problemi matematici molto originali, ognuno dei quali può essere risolto attraverso lunghi e complicati calcoli, ma anche con un colpo di genio che consente di prendere una brillante scorciatoia. Sono ben 270 gli enigmi raccolti, e l’approccio di ogni soluzione è così sorprendente che sembra di trovarsi di fronte allo spettacolo di un abile prestigiatore; se è piacevole scoprire da sé una soluzione, lo è altrettanto arrendersi e correre a leggere le risposte fornite nella seconda parte del libro, scoprendo che ci era sfuggita una strada che – a posteriori – sembra ovvia!

Ecco un esempio davvero notevole.

L’area del poligono

In un problema incredibile, Trigg chiede quale sia l’area di questa figura:

La risposta più elegante e breve è condensata in una formula poco nota ma straordinariamente compatta: il Teorema di Pick. (2)  Ecco come funziona.

• Contate i puntini che si trovano sopra il perimetro della figura e chiamate “a” quel numero (ce ne sono a = 14):

• Contate i puntini che si trovano dentro il perimetro della figura e chiamate “b” quel numero (ce ne sono b = 39):

L’area della figura è data dalla seguente, semplicissima formula:

Usando i numeri individuati sulla figura, l’area risulta essere di 45 unità:

Ecco qualche altro esempio, che potete provare a risolvere.

Il postino poco diligente

1) Un postino ha imbustato a caso 10 lettere regolarmente intestate in altrettante buste con l’indirizzo. La probabilità che abbia accoppiato tutti i destinatari con la busta corretta è ovviamente bassissima, ma qual è la probabilità che ne abbia sbagliata solo una?

Appena si supera dodici

2) Un dado che presenta sulle facce i numeri 0, 1, 2, 3, 4, 5 viene ripetutamente lanciato, tenendo nota del totale complessivo. I lanci si interrompono non appena viene superato il 12. Qual è il risultato finale più probabile?

Distribuire a caso dieci cifre

3) Qual è la probabilità che, distribuendo a caso le dieci cifre dallo 0 al 9 negli spazi bianchi sotto, si ottenga un numero divisibile per 396?

5_383_8_2_936_5_8_203_9_3_76

Note