MARIANO TOMATIS

WONDER INJECTOR

Scrittore e illusionista
Mariano illumina le
meraviglie sul confine
tra Scienza e Mistero.

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Gli strani puzzle delle aree che spariscono

Pubblicato giovedì 28 luglio 2011 • Scritto da Mariano Tomatis • Permalink

Così come nel racconto di Arthur C. Clarke "I nove miliardi di nomi di Dio" (1953), la matematica può accelerare l'arrivo della fine del mondo. Ma ne vale la pena?

L'idea per questo puzzle mi colse durante un congresso al quale avevo partecipato come relatore subito prima di Gianni Sarcone, che aveva proposto al pubblico questo puzzle con un'area che sparisce:

Semplicemente spostando alcuni pezzi, le otto uova diventavano sette e si produceva un ispiegabile buco nel riquadro.

Volevo far realizzare un puzzle simile per il mio libro dedicato alla fine del mondo nel 2012, e chiesi quindi a Gianni di ristrutturare il disegno delle 7/8 uova per supportare una differente narrativa: volevo che ad apparire fosse un tredicesimo teschio di cristallo, come nell'ultimo film di Indiana Jones. Pubblicammo il risultato sulle pagine di 2012 È in gioco la fine del mondo (1):

 

La prima area che sparisce in letteratura

Il primo esempio di area che sparisce risale al 1566 e compare nel Libro d'Architettura Primo di Sebastiano Serlio (1475-1554), un architetto del Rinascimento. (2):

Sebastiano Serlio, Libro d'Architettura Primo, 1566, p. 16 (leggilo qui)

Serlio cita il caso di una tavola di dimensioni 3×10 piedi che può essere convertita in una tavola di dimensioni 4×7 piedi, lasciando due ulteriori triangoli 1×3 piedi. Curiosamente, Serlio non si accorse che la somma delle tre aree risultati (31 piedi quadrati) era maggiore dell'area originale (30 piedi quadrati):

 

L'analisi di Edmé Gilles Guyot

Nel 1769 Edmé Gilles Guyot (1706-1786) descrisse il paradosso dell'area che sparisce nel secondo volume delle sue Nouvelles récréations physiques et mathématiques (leggilo qui): un rettangolo 10 × 3 può essere diviso in quattro pezzi che, risistemati, definiscono un rettangolo 5 × 4 e un altro 6 × 2. (3)

Edmé Gilles Guyot, Nouvelles récréations physiques et mathématiques,
Vol.2, planche 6, 1799 edition (vedi qui la planche 6)

Guyot suggeriva di disegnare una moneta su ciascun riquadro e di usare questo paradosso per prendersi gioco degli alchimisti e della loro pretesa di produrre l'oro attraverso procedimenti mistici. Dettaglio curioso: il diagramma riprodotto sulla prima edizione del libro era sbagliato, e venne corretto soltanto nella seconda edizione.

Nell'edizione 1774 delle Rational Recreations (4), un libro di giochi matemetici scritto da William Hooper (1742-1790) che plagiò in parte il lavoro di Guyot (leggilo qui), il diagramma (e quindi l'errore) fu riprodotto pari pari:

William Hooper, Rational Recreations, Volume 4, 1774, pp. 286-287. (leggilo qui)

Venne corretto solo nell'edizione 1782 del libro di Hooper (leggilo qui).

Il secondo rettangolo misurava 3×6 invece che 2×6.

Paradox di Mitsunobu Matsuyama

Nel 1979 Mitsunobu Matsuyama creò "Paradox", un semplice puzzle che coinvolgeva un'area che spariva: quando veniva capovolta, una carta da gioco mostrava un re di quadri con il residuo di un quadratino che sembrava apparire dal nulla. Venne pubblicato da Karl Fulves sul numero 18 delle sue Chronicles (5)

La tripla sparizione di Winston Freer

Winston Freer (1910-1981) creò una versione più complicata del puzzle delle aree che spariscono, mostrata in questo video da John Rogers per spiegare la teoria della relatività: è ancora più sorprendente perché coinvolge tre riquadri che spariscono in successione.

La struttura di questo puzzle è descritta in dettaglio da Peter Tappan nel suo articolo "FuTILE Subtraction". (6)

Nello stesso articolo Peter Tappan descrive una versione migliorata del puzzle di Freer, che nel 1994 gli guadagnò il premio originalità dell'International Brotherhood of Magicians.

La progressione di Tofique Fatehi

Nel 1980 Tofique Fatehi creò il puzzle degli undici buchi, una versione estesa del puzzle di Winston Freer che coinvolgeva una progressione di 11 riquadri che spariscono!

Il tour partiva da questa disposizione:

Una descrizione dettagliata della sua struttura può essere scaricata dal suo sito personale.

Robert Pages e il paradosso del biglietto da visita

Robert Page ha messo in commercio il "Business Card Paradox", una versione semplificata del Paradox di Matsuyama in cui l'area rettangolare che sparisce viene reintegrata con il proprio biglietto da visita.

È disponibile un tutorial per realizzare puzzle simili (vedilo qui su YouTube).

Il TangraMagic di Gianni Sarcone

Nel 1998 Gianni Sarcone creò TangraMagic, una versione estesa del Tangram che coinvolgeva un quadrato che sparisce, ottenuto ritagliando della gomma piuma. I 10 pezzi (7 del Tangram originale e 3 aggiuntivi) possono essere ridistribuiti in modo tale che solo 9 pezzi completino l'area originariamente occupata dai 10. (7)

Il suo sito web offre un tutorial per realizzarlo da sé.

Uno speciale ringraziamento a Max Maven per i suoi preziosi contributi a questo articolo (8) e a Gianni Sarcone che mi ha fornito diverse utili precisazioni.

_________________

(1) Mariano Tomatis, 2012 è in gioco la fine del mondo, Iacobelli, Roma 2010.

(2) Sebastiano Serlio, Libro d'Architettura Primo, 1566, p. 16 cit. in Greg N. Frederickson, Dissections: Plane and Fancy, Cambridge University Press, 1997, pp.271-273.

(3) Edmé Gilles Guyot, Nouvelles récréations physiques et mathématiques, Vol.2, planche 6, 1799 edition, pp. 38-39. Il riferimento è stato individuato da Douglas Rogers.

(4) William Hooper, Rational Recreations : In which the Principles of Numbers and Natural Philosophy are Clearly and Copiously Elucidated, by a Series of Easy, Entertaining, Interesting Experiments. Among which are All Those Commonly Performed with the Cards, L. Davis; J. Robson; B. Law; and G. Robinson, 1774, pp.286-287.

(5) Mitsunobu Matsuyama, "Paradox" in Chronicles #18, 1979, pp.1235-1238.

(6) Peter Tappan, "FuTILE Subtraction", Linking Ring, Ottobre 2000, pp.112-119.

(7) Gianni Sarcone, "Paradoxical Tangram and Vanishing Puzzles", Journal of Recreational Mathematics, #29:2, 1998, pp. 132-133; problem 2424.

(8) Post sul Forum di Genii "Amazing Geometric Vanish - MAGIC magazine", 11/07/2010 e comunicazione personale

Archeologia, dadi e matematica

Pubblicato mercoledì 6 luglio 2011 • Scritto da Mariano Tomatis • Permalink

L'isola degli zombie è popolata da esseri umani e morti viventi: i primi dicono sempre la verità, mentre i secondi mentono regolarmente. Un'antica maledizione rende le cose ancora più complicate, perché nessuno può rispondere con le parole "sì" o "no"; gli abitanti dell'isola usano, al loro posto, le parole "bal" e "da" - ma non sappiamo quale delle due significhi "sì" e quale "no".

Questo luogo della fantasia venne creato da Raymond Smullyan come ambientazione per alcuni indovinelli pubblicati sul suo Qual è il titolo di questo libro? (1) La sfida proposta consiste nell'indovinare il significato delle due parole, ponendo opportune domande a uno o più abitanti di cui si ignora la natura.

Per esempio, se incontrate un indigeno, quale domanda vi consente di determinare il significato di "bal"?

Vedi la soluzione in nota (2).

Da decenni gli archeologi si dedicano a un problema linguistico simile: gli Etruschi usavano le parole "huth" e "sa" per chiamare i numeri 4 e 6, ma non sappiamo in che ordine. A differenza degli abitanti dell'isola degli zombie, oggi nessun Etrusco può essere interrogato sull'argomento, e quindi l'indagine deve basarsi su altre evidenze.

Parte della lingua etrusca venne ricostruita a partire da tre lamine d'oro rinvenute nel 1964 nel sito archeologico di Pyrgi: qui un testo compare sia in lingua etrusca, sia in lingua fenicia. I pochi reperti di questo tipo hanno consentito di identificare alcuni numeri (thu = 1, zal = 2, ci = 3, mach = 5) ma non di individuare con certezza la corrispondenza di "huth" e "sa" con i numeri 4 e 6.

Sarà presto pubblicato su Archaeometry un curioso studio di Gilberto Artioli, Ivana Angelini e Vincenzo Nociti (3) che prende in considerazione 93 dadi etruschi - 91 dei quali con le facce coperte da puntini e 2 con i numeri espressi a parole. La disposizione dei numeri sulle facce non è casuale: in alcuni dadi segue una regola, mentre negli altri ne segue un'altra. Teoricamente le facce potrebbero essere disposte sulla base di un criterio scelto tra 15 diversi (4), ma il fatto che gli etruschi si fossero fissati su due soltanto rende l'analisi molto più semplice.

La prima regola stabilisce che le facce opposte riportano coppie di numeri in ordine crescente: dietro l'1 c'è il 2, dietro il 3 c'è il 4 e dietro il 5 c'è il 6.

La seconda regola è quella in uso ancora oggi, e fissa che la somma di due facce opposte faccia sempre 7 (dunque dietro l'1 c'è il 6, dietro il 2 c'è il 5 e dietro il 3 c'è il 4).

Lo studio della serie di 91 dadi ha rivelato che la prima regola definì la disposizione dei dati fino al V secolo a.C., poi fu lentamente introdotta la seconda regola, che si impose definitivamente dal III secolo a.C. in avanti.

Artioli e colleghi si sono accorti di un aspetto interessante: in entrambi i casi, dietro il 3 c'era il 4!

Prendendo in esame questo dado che presenta i numeri espressi a parole:

...i tre studiosi hanno visto che la faccia del 3 (ci) si trova sul lato opposto rispetto a sa, e quindi hanno concluso che sa corrisponde al 4 - e dunque, per esclusione, huth vale 6! (5)

Tale risultato è doppiamente interessante perché contrario all'opinione di gran parte degli archeologi, che in passato hanno sostenuto la corrispondenza inversa. (6)

_________________

(1) Raymond Smullyan, What is the Name of This Book?, Prentice-Hall, New Jersey 1978. Per risolvere questo genere di indovinelli, Adam Kolany ha proposto un metodo generalizzato nel suo articolo "A General Method of Solving Smullyan's Puzzles" in Logic and Logical Philosophy, Vol. 4 (1996),pp.97–103.

(2) La domanda è «Sei umano?» Entrambi risponderanno con una parola che significa "sì", e a seconda della risposta (che sarà "bal" o "da") sarà possibile determinare il significato di "bal" (e per esclusione, di "da").

(3) Artioli G., Nociti V., Angelini I., "Gambling With Etruscan Dice: A Tale Of Numbers And Letters" in Archaeometry, 53 (2011). Un ringraziamento particolare a Roberto Labanti che me l'ha segnalato.

(4) Dietro l'1 si può mettere una faccia qualsiasi scelta tra cinque diverse (2, 3, 4, 5 e 6). Compiuta questa scelta, restano quattro facce da assegnare. Scelta una faccia, dietro le si può mettere una faccia qualsiasi scelta tra le tre rimanenti. L'ultima scelta è obbligata. Le combinazioni complessive si ottengono moltiplicando le 5 scelte della prima faccia e le 3 scelte della terza, ottenendo 15.

(5) Conoscendo il nome degli altri numeri, Artioli e colleghi hanno anche scoperto che il dado sopra segue la seconda regola. Infatti huth (6) si trova sul lato opposto rispetto a thu (1) e zal (2) si trova sul lato opposto rispetto a mach (5).

(6) Il primo ad affermare che huth = 4 e sa = 6 fu H. L. Stoltenberg, "Die Bedeutung der etruskischen Zahlnamen" in Glotta, vol. XXX (1943), pp.234-244.

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